밀착위상 찾다가 (2005)

출처 : 네이버 지식인

---------------------------------------------------------------------------------------

집합 X상의 위상 T 란

X의 개부분집합을 원소로 가지는  class 로서 아래 세가지 조건을 만족시켜야 합니다

 

01.  X∈T , Φ∈T

02.  G1, G2, G3, ....... ∈T에 대해 ∪G(i) ∈T   (T의 임의의 임의개 원소의 합집합은 T의 원소) 

03. G1,G2∈T에 대해 G1∩G2∈T                     (T의 임의의 두원소의 교집합은 T의 원소)

 

 

예를 들어

X={a,b,c}일때

T={X, Φ, {a}, {a,c}}는 위상이지만

T={X, Φ, {a}, {b}}는 위상이 될 수 없습니다.  ({a}∪{b}는 T의 원소가 아니므로 o2를 만족하지 않는다)

 

그리고 토폴로지임을 증명하는 방법은

위 세가지 조건을 모두 만족함을 보여주면 됩니다.

 

---------------------------------------------------------------------------------------

질문 : (위상수학) X={a.b.c}의 topology

답변자 : ellipse7 (2004-06-02 16:43 작성, 2004-06-02 16:46 수정)

 

29개인지 저도 가물합니다만, 위상의 정의를 이용하면 풀 수 있을 것입니다.

 

1. indiscerete topology = trivial topology

 

이 다음의 위상은 open set 이 위의 1에 나오는 공집합과 전체집합을 포함합니다. 따라서, 이걸 제외한 나머지 open set만 생각해 보겠습니다.

 

2. {a} 만 open set인 위상 ---------------------------------- 3종류

3. {a}, {a, b} 만 open set인 위상 -------------------- 3*2 = 6종류

4. {a}, {a, b}, {a, c} 만 open set인 위상 ------------------ 3종류

5. {a}, {b}, {a,b} 만 open set인 위상 ---------------------- 3종류

6. {a}, {b}, {a,b}, {a,c} 만 open set 인 위상 -------- 3*2 = 6종류

7. {a,b} 만 open set 인 위상 ------------------------------- 3종류

8. {a,b}, {c} 만 open set인 위상 --------------------------- 3종류

 

9. discerete topology

 

따라서, 1+3+6+3+3+6+3+3+1 = 29 가지가 나옵니다.

 

제 기억으로는 Munkres 의 Topology 에 보면 세 개의 원소를 가진 집합이 어떤 위상을 갖는지 그림으로 분류한 것이 나옵니다.

(원소끼리 서로 다르게 구분하지 않았기 때문에 위에서 분류한 9가지 경우의 그림이 나와 있습니다.)

 

---------------------------------------------------------------------------------------

질문 : 공간끼리 서로 충돌하게 되면 어떻게 되냐요?

답변자 : mutsuhiko (2004-02-16 20:49 작성)

 

위상수학적인 설명입니다만,
A 공간 안에 B 공간이 생기려면 A 공간의 차수가 B 공간에 비해 높거나 같아야 합니다.

하지만 두 공간의 차수가 같은 경우는 엄밀히 말해 생성됐다고 할 수 없고,
경계가 지어졌다고 해야겠죠.

차수가 다른 경우는, '잠긴다'라는 표현을 씁니다.
A 공간 안에 B 공간이 생겼더라도, 
각각의 공간 자체에는 아무런 격변이 생기지 않는다는 거죠.
쉽게 말해, A 공간 안에 B 공간이 생긴 상태에서 아무런 변화가 없고,
B 공간에서는 A 공간을 인식하지 못하게 됩니다.

물리학적인 공간 생성에는 거품 우주론이 있습니다만,
이건 '경계가 주어지는 현상'입니다.
다만 나눠진 공간과 공간끼리 웜홀이 생기거나, 아예 단절되기도 한다는 거죠.

충분한 답변이 되었을지는 모르겠지만,
더 궁금한 사항이 있다면 추가 질문 달아주시길...
(질문만 하시면 모르니까 쪽지도 보내주세요-_-)

 

그림에서 원소 a,b,c 를 서로 다르게 놓고, 경우의 수를 따지면 위와 같은 결과가 나옴을 알 수 있습니다. 다르게 놓지 않는다면 9가지의 경우가 나오죠. 즉, homeomorphic  topology는 아홉 종류가 있습니다. 위상을 이루는 집합의 종류의 수가 몇 개냐고 질문한다면, 질문에서 말한대로 29가지가 나오죠.

 

물론, 경우의 수를 따지기 이전에 위상(topology)

의 정의를 이용하여 open set으로 정의한 집합들이 교집합이나 합집합에 대해 닫혀있는지 반드시 확인해야 합니다.

 

위의 문제의 경우는 전체집합의 원소의 개수가 단지 3개이기 때문에 위상이 되는 조건을 만족함을 쉽게 알 수 있습니다.